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北京樂氏聯(lián)創(chuàng)科技有限公司
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閱讀：132發(fā)布時間：2021-6-30
關于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解。
那么，到底什么是傅里葉變換算法列?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復雜列?
傅里葉變換（Fourier transform）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀念。
傅里葉變換原來就是一種變換而已，只是這種變換是從時間轉換為頻率的變化。這下，你就知道了，傅里葉就是一種變換，一種什么變換列?就是一種從時間到頻率的變化或其相互轉化。
ok，咱們再來總體了解下傅里葉變換，讓各位對其有個總體大概的印象，也順便看看傅里葉變換所涉及到的公式，究竟有多復雜：
首先知識點先排除，什么是正余弦波，首先，直角三角形中，∠C=90°；任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，也就是sinA=a/c。∠A的余弦是它的鄰邊比三角形的斜邊，所以co sA=b/c。
其中 K(t,u) 就是積分變換的核 （kernel）。這個積分變換的“物理含義”就是， f(t) 在核函數(shù)的復共軛這一組正交基上的展開系數(shù)。為什么呢？如果大家學過一點線性代數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)積分變換具有內(nèi)積的形式。將 u' 看作參數(shù)，如果 K(u',t) 和 K(u,t) 正交，則積分變換無非是給出了向量 \vec 在基函數(shù) K^*(t,u) 上投影 / 分量的通式。要注意的是，這里的基函數(shù)不是 K(t,u) 而是 K^*(t,u) 。這是因為，內(nèi)積的結果是一個“數(shù)”而不是向量，所以作為向量的兩個被乘函數(shù)必須有一個要被取復共軛（相當于轉置）。以上推理從內(nèi)積的狄拉克括號表示的角度看很容易理解： (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle ——左矢括號 \langle | 自帶轉置效果，要符合原定義則 bra 內(nèi)必須是 K^* 。
在以上的討論中我提到了向量 \vec ，那它與函數(shù) f(t) 又是什么關系呢？不妨想象一下普通空間的三維矢量 \vec\equiv(a,b,c) ，其中的 a,b,c 也無非是向量 \vec 在 \vec,\vec,\vec 基矢上的展開系數(shù)。也就是說，我們可以通過寫出一個矢量在所有基矢量方向的展開系數(shù)以及所有基矢量的方式*確定一個向量。如果把任何一個函數(shù)的自變量的任意一個（或者一組，對于多元函數(shù)來說）可能的取值看作一個基矢，函數(shù)值看作展開系數(shù)，那么，任何函數(shù)都可以看作是一個向量的一個具體表示。當然了，如果仔細推導一下，函數(shù) f(x) 的一組正交基實際上是 \delta(x) （狄拉克 \delta 函數(shù)）。
傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學工具，更是一種可以*一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。
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